خلاصه ماشینی:
"مثال اول:(به تصویر صفحه مراجعه شود) مثال دوم:(به تصویر صفحه مراجعه شود) از آنچه گفته شد،پیداست که کاشانی به خوبی مفهوم صفر به عنوان عدد را درک میکرده و در مواردی این مفهوم را به کار برده است،اما از آنجا که این طرز تلقی برای دیگران دشوار بوده، در برخی مواضع مفتاح الحساب از همان شیوۀ کهن پیروی کرده است.
زیرا وی گرچه تمام تحصیلات ابتدایی و دانشگاهی خود را در ایتالیا گذراند و چند سالی هم استاد فیزیک دانشگاه رم بود و جایزۀ نوبل فیزیک 1938 میلادی را نیز به سبب پژوهشهایی که در ایتالیا به انجام رسانده بود،به دست آورد،اما پس از آنکه در همان سال از ترس موسولینی به آمریکا گریخت،در 1944 به شهروندی آمریکا درآمد،از این گذشته اقامت 16 سالۀ وی در این کشور در موفقیتهای بعدی او بسیار مؤثر بود.
پاول دیراک22(فیزیکدان نامدار سوئیسی که از 17 سالگی به شهروندی انگلیس درآمد،عضو انجمن سلطنتی و برندۀ جایزۀ نوبل فیزیک در 1933)از 1932 به عنوان استاد صاحب کرسی در دانشگاه کمبریج به تدریس مشغول بود و از 1969 نیز به سمت استاد ممتاز این دانشگاه مفتخر شد و بنابراین باید او را یک سوئیسی-انگلیسی به شمار آورد.
ورنر هایزنبرگ،فیزیکدان نامدار آلمانی و برندۀ جایزۀ نوبل فیزیک 1932 میلادی نیز،که همۀ تحصیلات و پژوهشهای در آلمان بود احتمالا به سبب 6 سال اقامت کمابیش اجباری در ایالات متحده(وی در سال 1939 برای تعطیلات تابستانی به آمریکا رفته بود که به ناگاه جنگ جهانی دوم آغاز شده و تا 1945 ادامه یافت)،آمریکایی به شمار آمده است."