چکیده:
اغلب دادههای سری زمانی چند متغیره با استفاده از مدل اتورگرسیو میانگین متحرک برداری (VARMA) مدل بندی میشود. ولی وجود نقاط دورافتاده اغلب ناقض فروض مانایی بوده و ممکن است باعث مدلسازی اشتباه، اریبی برآورد پارامترها و پیشبینی نادرست شود. بنابراین در این تحقیق، برآورد جدیدِ مبتنی بر شبیهسازی استوار برای پارامترهای مدل VARMA معرفی میشود. برآورد مبتنی بر شبیهسازی نوعی برآورد غیرمستقیم بوده و به جای برآورد مدل پیچیده VARMA از برآورد مدل سادهتر اتورگرسیو برداری (VAR)با مرتبهی بالا استفاده میکند. برای این کار، ابتدا روی مشاهدات مدل VAR برازش میشود سپس دادههایی از VARMAهای مختلف شبیه سازی شده و روی هر مجموعه داده شبیه سازی شده مدل VAR برازش میشود. اساس روش مبتنی بر شبیهسازی، فاصله بین برآورد مدل VAR روی دادههای "شبیه سازی" و "مشاهدات" است. مقادیری از پارامترها که در شبیه سازی از مدل VARMA استفاده کرده و مینیمم این فاصله را ارائه دهد، برآورد پارامترهای مدل VARMA هستند. حال در صورتی که برآورد مدل VAR به صورت استوار باشد انتظار داریم که برآورد مدل VARMA نیز استوار گردد. به همین دلیل برای برآورد مدل VAR، از روش استوار BMM با عملکرد بهتر استفاده شده است. برآوردگر مبتنی بر شبیهسازی خواص سازگاری و نرمال بودن مجانبی را دارا است. در ادامه با مطالعات شبیه سازی در دادههای بدون نقاط دورافتاده نشان داده شد که نسبت میانگین توان دوم خطای این برآوردگر به برآوردگر ماکسیمم درستنمایی شرطی بین 7/0-6/0 بوده که برای یک برآوردگر استوار قابل قبول میباشد. همچنین وقتی 05/0 دادهها به نقاط دورافتاده آلوده شود، میانگین توان دوم خطای برآوردگر مبتنی بر شبیهسازی استوار نسبت به برآوردگر ماکسیمم درستنمایی شرطی کمتر است.
به عنوان مثال کاربردی، دادههای مربوط به قیمت طلا و دلار در بازار آزاد تهران در بازهی زمانی 1392-1397 به صورت هفتگی جمع آوری و بررسی شده است. لازم به ذکر است که قیمت طلا و ارز اغلب، تحت تاثیر بحرانهای اقتصادی، سیاسی، ظهور جنگ و ... قرار گرفته و این بحرانها باعث به وجود آمدن نقاط دورافتاده میشود. لذا برای کاهش اثرات بد این نقاط دورافتاده و برآورد صحیح مدل از روش استوار استفاده میشود. نکته دیگر در مورد قیمت طلا و دلار، وجود همبستگی بالای آنها بوده و برای تعیین اثرات متقابل طلا و دلار در پیشبینی از مدل VARMA میتوان استفاده نمود. برازش مدل VARMA(1,1) به این دادهها نشان میدهد که واریانس خطای مربوط به قیمت طلا در مدل استوار نسبت به ماکسیمم درستنمایی شرطی 38 درصد و واریانس خطای مربوط به قیمت دلار در مدل استوار نسبت به ماکسیمم درستنمایی شرطی 30 درصد کاهش مییابد. به عبارت دیگر استفاده از این روش، منجر به پیشبینیهای بهتر با واریانس کمتر میگردد. با توجه به مدل برداری برازش شده، پیشبینی قیمت طلای هر هفته با استفاده از قیمت طلای هفته قبل و نوسانات طلا و دلار هفته قبل بدست میآید. همچنین، پیشبینی قیمت دلار هر هفته بهوسیله قیمت دلار هفته قبل و نوسانات دلار هفته قبل انجام میشود.
Multivariate time series data are often modeled using vector autoregressive moving average (VARMA) model. However, the presence of outliers can violate the stationary assumption and may lead to wrong modeling, biased estimation of parameters and inaccurate prediction. Therefore, a new robust simulation-based estimation for parameters of the VARMA model was introduced in this research. The simulation-based estimation as a kind of indirect estimation uses the estimation of the simple vector autoregressive (VAR) model with large order rather than the estimation of the complex VARMA model. To do this, the VAR model was first fitted on observation. Then, the data from different VARMA models were simulated and on each simulated data, the VAR model was fitted. The simulation-based method is based on the distance between the estimation of the VAR model on the simulation and observation data. The values of the parameters that use the VARMA model in the simulation and provide the minimum distance are indeed the estimates of the VARMA model parameters. Thus, if the estimates of VAR model are solid, we expect the VARMA model to be stable as well. For this reason, the robust BMM method of Muler and Yohai (2013) was used to estimate the VAR model. The simulation-based estimator has asymptotic normality and consistency properties. In addition, the simulation study in the data without outliers showed that the ratio of the mean square error of this estimator to the conditional maximum likelihood estimator was between 0.6 and 0.7 which is allowable for a robust estimator. Besides, when the 0.05 data is contaminated by the outliers, the mean square error of the robust simulation-based estimator is lower than the conditional maximum likelihood estimator. As a real example, the gold and dollar price data in the Tehran free market were collected and investigated weekly in the period 2013-2018. It should be noted that gold and dollar prices are often affected by economic, political, and war crises which, in turn, create outliers. Thus, a robust method was used to reduce the bad effects of these outliers to estimate the model correctly. As gold and dollar prices are highly correlated, the VARMA model can be used to predict the gold and dollar interactions. Fitting the VARMA (1, 1) model to these data shows that the variance of the gold price error in the robust model to the conditional maximum likelihood reduced by 38%. However, the variance of dollar error in the robust model to the maximum conditional likelihood reduced by 30%. In other words, using robust method leads to better predictions with less variance. According to the fitted vector model, the gold price forecast for each week was obtained using the gold price of the previous week and the gold and dollar errors of the previous week. Besides, a forecast of the dollar for each week was obtained by the dollar and dollar error of the previous week.
خلاصه ماشینی:
مدل بندي و پيش بيني قيمت طلا و دلار با استفاده از برآورد استوار مبتني بر شبيه سازي احد رحيم پور*، مسعود يارمحمدي **، رحيم چيني پرداز*** و علي شادرخ **** تاريخ وصول : ١٣٩٧/٩/١٢ تاريخ پذيرش : ١٣٩٨/٤/١٨ چکيده اغلب داده هاي سري زماني چند متغيره با استفاده از مدل اتورگرسيو ميانگين متحرک برداري (VARMA) مدل بندي ميشود.
در ادامه با مطالعات شبيه سازي در داده هاي بدون نقاط دورافتاده نشان داده شد که نسبت ميانگين توان دوم خطاي اين برآوردگر به برآوردگر ماکسيمم درستنمايي شرطي بين ٠/٧-٠/٦ بوده که براي يک برآوردگر استوار قابل قبول ميباشد.
سريهاي زماني مانند قيمت طلا و دلار را ميتوان با استفاده از مدل ARMA تحليل نمود، ولي وجود نقاط دورافتاده اغلب ناقض فروض مانايي بوده و مدل بندي داده ها را با مشکل روبرو ميکند (١٩٩٣ ,Liu &Chen ).
در بخش ششم برآورداستوار مدل VARMA براي داده هاي مربوط به قيمت دلار و طلا به دســت آمده و واريانس خطاي پيش بينيهاي انجام شــده با استفاده از اين برآورد و برآورد ماکسيمم درستنمايي مقايسه مي شود.
٣-١- برآورد استوار مبتني بر شبيه سازي مدل VARMA براي برآورد مدل VAR چندين روش استوار مانند بن و ديگران ، کروکس و جوسنز و مولر و يوهاي ارئه شده است ( ,Joossens &Croux ;٢٠٠١ .
اســتواري اين روش از برازش استوار مدل VAR روي مشاهدات و داده هاي شبيه سازي شده ، به دست ميآيد.
استفاده از روش استوار مبتني بر شبيه سازي مدل VARMA براي داده هاي قيمت طلا و دلار آزاد، کاهش ٣٨ و ٣٠ درصـدي واريانس خطاها را باعث ميشـود.