چکیده:
از ابتدای پیدایش منطق جدید، پیوندهای بنیادی بین منطق و شاخههای مختلف ریاضیات ایجاد شده است که منجر به حل مسایلی در ریاضیات و بلعکس حل مسائل بنیانی در خود منطق گردیده است. یکی از چالشهای روش منطقی در مطالعه ساختارهای ریاضی عدم امکان مطالعه بعضی از ساختارهای مهم ریاضیات، از جمله ساختارهای موجود در آنالیز، در قالب زبان و منطق مرتبه اول میباشد. هدف اصلی این مقاله معرفی منطقی مناسب برای مطالعه این ساختارها و سپس حل مسائلی در آنالیز با استفاده از ابزارهای منطقی است. در ابتدای این مقاله مروری کوتاه بر منطقهای مناسب برای مطالعه ساختارهای موجود در آنالیز ریاضی خواهیم داشت و برخی از مهمترین کاربردهای منطق در آنالیز را بیان خواهیم کرد. سپس یکی از دستاوردهای اخیر که کاربردی مهم از منطق در آنالیز میباشد را ارائه و اثبات میکنیم. بهویژه، مفهوم تعریفپذیری در منطق و پیوند آن با آنالیز ریاضی را مورد مطالعه قرار میدهیم.
From the beginning of the emergence of new logic, fundamental links have been established between logic and various branches of mathematics, which led to solving mathematical problems and, conversely, solving basic problems in logic itself. One of the challenges of the logical methods in the study of mathematical structures is the impossibility of studying some of the important structures of mathematics, including analytic structures, in the framework of the first-order language and logic. The main purpose of this paper is to provide a suitable logic for studying these structures and then solving problems in the analysis using logical tools. At the beginning of this article, we will briefly review some suitable logics for studying the structures in mathematical analysis, and will outline some of the most important uses of logic in analysis. Then we present and prove one of the recent achievements, which is an important application of logic in analysis. In particular, we study the concept of definability in logic and its relation with mathematical analysis.
خلاصه ماشینی:
در ابتدای این مقاله مروری کوتاه بر منطقهای مناسب برای مطالعۀ ساختارهای موجود در آنالیز ریاضی خواهیم داشت و برخی از مهمترین کاربردهای منطق در آنالیز را بیان خواهیم کرد.
از آن جمله میتوان به مثال سیرلسون (Tsirelson 1974: 57-60) از یک فضای باناخ که شامل و 0 نیست اشاره کرد که از روش فورسینگ برای ساختن این مثال استفاده شده است که روشی پایهای در نظریۀ مجموعههاست.
قضیۀ کریوین ـ مائوری (Krivine and Maurey 1981: 273-295) یکی دیگر از کاربردهای منطق در آنالیز است که با استفاده از مفهوم پایداری در نظریۀ مدل، که یکی از بنیادیترین مفاهیم نظریۀ مدل است، بنا شده است.
نکتۀ دیگر که باید به آن توجه کرد این است که مفهوم فراضرب و فراتوان در فضاهای باناخ ترجمۀ مستقیمی از این مفاهیم در منطق کلاسیک نیست و تفاوتهایی در تعریف آنها وجود دارد.
شایان ذکر است که تقریباً یک دهه قبل از آن چانگ و کیسلر (Chang and Keisler 1966) کتابی با عنوان نظریۀ مدل پیوسته نوشتند که طرحی کلی از منطقهایی برای مطالعۀ ساختارهای پیوسته (بهویژه ساختارهای آنالیزی) را ارائه میداد که حدوداً 40 سال بعد مبنایی برای خلق منطق مرتبۀ اول پیوسته شد که مناسبترین منطق برای مطالعۀ ساختارهای متریک و فضاهای باناخ است (بنگرید به Ben Yaacov et al.
2008: 315-427) ارائه شده است و نتایجی مشابه نظریۀ مدل کلاسیک برای این منطق حاصل شدهاند.
برای تکمیل بحث تناظر بین برخی از مفاهیم موجود در این دو حوزه (یعنی منطق ریاضی و نظریۀ فضاهای باناخ) را بیان میکنیم.