چکیده:
منطق مرتبه دوم بخشی از منطق کلاسیک است که واژگان آن با اضافه کردن متغیر محمولی به واژگان منطق مرتبه اول (بدون اینهمانی) شکل می گیرد. به تبع این تغییر واژگان، قواعد ساخت، اصول موضوعه و قواعد استنتاجی آن نیز بر مبنای منطق مرتبه اول (بدون اینهمانی) شکل می گیرد. اصول موضوعه این منطق متشکل از قالبهای اصل موضوعی منطق مرتبه اول (بدون اینهمانی)، چند قالب اصل موضوعی که شباهت زیادی به اصول منطق مرتبه اول دارند و همچنین قالبهای اصل موضوعی شمول نسبت و شمول تابع است.
در منطق یاد شده می توان اصل موضوع اینهمانی را بر پایه تعریف لایب نیتسی از اینهمانی به دست آورد.
برای منطق مرتبه دوم دو معناشناسی مختلف ارایه شده است: معناشناسی استاندارد که مدلهای آن شباهت زیادی به مدلهای معمول در منطق مرتبه اول دارد؛ معناشناسی هنکین که تفاوت اساسی آن با مدلهای استاندارد در توانایی محدود نمودن مجموعه هاست. هر فرمول معتبر در معناشناسی هنکین در معناشناسی استاندارد نیز معتبر است، اما عکس آن صادق نیست. هر فرمول صدق پذیر در معناشناسی استاندارد، در معناشناسی هنکین نیز صدق پذیر است، اما عکس آن صادق نیست. اصل موضوع شمول نسبت در معناشناسی هنکین معتبر نیست. بهنجاری و سازگاری منطق مرتبه دوم، هم بر اساس معناشناسی مدل استاندارد و هم معناشناسی مدل هنکین قابل اثبات است، اما می توان اثبات کرد که منطق مرتبه دوم بر پایه معناشناسی استاندارد ناتمام است. همچنین بر پایه این معناشناسی فراقضیه نافشردگی برای منطق مرتبه دوم قابل اثبات است. اما بر پایه معناشناسی هنکین تمامیت و فشردگی منطق مرتبه دوم اثبات می شود.
در این مقاله مساله اصلی مورد بحث ما، بررسی اهمیت تغییر دلالت شناسی و تبعات آن در بخشهای مختلف نحوشناسی (اعم از اصول موضوعه، روشهای استنتاجی و ...) و همچنین فراقضایا با تمرکز بر بخشی از منطق کلاسیک؛ یعنی منطق مرتبه دوم است. در بررسیهای خود نشان داده ایم که تفاوت و تغییر در دلالت شناسی به تغییر در بخشهای فوق الذکر منجر خواهد شد.
خلاصه ماشینی:
"بنابراین دستگاه استنتاج طبیعی منطق مرتبه دوم براساس دلالتشناسی هنکین شامل قواعد زیر است:9 حذف سور کلی مرتبهء دوم: (به تصویر صفحه مراجعه شود) شرط عمومی:(به تصویر صفحه مراجعه شود)دامنه سور است و(به تصویر صفحه مراجعه شود)باید نمونه درست (legitimate instance) آن باشد؛یعنی (به تصویر صفحه مراجعه شود)فقط جانشین تمامی موارد آزاد(به تصویر صفحه مراجعه شود)در(به تصویر صفحه مراجعه شود)میگردد و در صورتی که(به تصویر صفحه مراجعه شود)یک متغیر باشد،در کلیه مواردی که (به تصویر صفحه مراجعه شود)در(به تصویر صفحه مراجعه شود)آزاد است،(به تصویر صفحه مراجعه شود)نیز باید در(به تصویر صفحه مراجعه شود)آزاد باشد.
معرفی سور وجودی مرتبهء دوم: (به تصویر صفحه مراجعه شود) شرط عمومی:ذکرشده در بالا ملاحظه میکنیم که قواعد استنتاجی و همچنین اصول موضوعه ارائهشده کاملا شبیه اصول موضوعه و قواعد استنتاجی منطق مرتبهء اول هستند،تنها با یک تفاوت و آن هم قرار گرفتن متغیرها و ثابتهای محمولی به جای متغیرها و ثابتهای فردی است.
بنابراین،قاعدهء استنتاجی زیر به مجموعه قواعد استنتاجی منطق مرتبهء اول(بدون اینهمانی)اضافه میشود: تعمیم 2(تع 2) (به تصویر صفحه مراجعه شود) دلالتشناسی منطق مرتبهء دوم برای منطق مرتبهء دوم دو دلالتشناسی مهم ارائه شده است:دلالتشناسی استاندارد و دلالتشناسی هنکین.
به همین ترتیب،نمیتوان هیچ قضیهای را که در آن سخن از وجود یک مجموعه یا صفت خاص زده میشود،در دلالتشناسی هنکین معتبر شمرد،اما چه تفاوتی در نحو منطق مرتبهء دوم میتواند به این تفاوت ایجادشده در قضایا همراهی کند؟ اگر نظام اصل موضوعی را در نظر بگیریم،فرمولهای شمول نسبت در دلالتشناسی مدل استاندارد راستگو هستند،اما از آنجا که این فرمولها از وجود مجموعهها و صفات خاصی خبر میدهند،نمیتوان آنها را در دلالتشناسی مدل هنکین راستگو شمرد."